Sai lầm trong viết phương trình đường thẳng P2


Bài toán: Cho điểm A và các đường thẳng (d_1); (d_2). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt cả hai đường thẳng (d_1); (d_2).
Tạp chí Toán học tuổi trẻ đăng cách làm như sau: Xác định phương trình hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (P) chứa A và (d_1); (Q) chứa A và (d_2). Và nhận xét giao của hai mặt phẳng là đường thẳng cần tìm.

Vấn đề đáng nói ở đây là có phải với mọi bài toán có yêu cầu như bài trên đều có cách giải nhử trên? Câu trả lời là không phải như vậy.
Ta xét trường hợp:(d_1); (d_2) đồng phẳng:
+ Ta không xét trường hợp (d_1); (d_2) trùng nhau. Vì trường hợp này dù điểm A nằm ở vị trí nào đi nữa thì bài toán cũng có vô số nghiệm hình. Nghĩa là có vô số đường thẳng (d) thoả mãn.
+ Trường hợp (d_1); (d_2) cắt nhau ta lại xét đến hai trường hợp:

  • A nằm trên mặt phẳng chứa (d_1); (d_2). Khi đó bài toán có vô số nghiệm hình
  • A không nằm trên mặt phẳng chứa (d_1); (d_2). Khi đó bài toán có 1 nghiệm hình. Là đường thẳng qua A và giao điểm của hai đường thẳng (d_1); (d_2)
  • + Trường hợp (d_1); (d_2) song song ta cũng xét hai trường hợp:

  • A nằm trên mặt phẳng chứa (d_1) ; (d_2). Khi đó bài toán có vô số nghiệm hình
  • A không nằm trên mặt phẳng chứa (d_1); (d_2). Khi đó bài toán không có nghiệm hình.
  • Các trường hợp này khi đi thi thực ra thì cũng ít gặp vì những người ra đề thường không muốn kiểm tra chỗ này. Tuy nhiên chúng ta cần hiểu rõ để tránh nhầm lẫn đáng tiếc.
    Ta xét trường hợp: (d_1); (d_2) không đồng phẳng (chéo nhau):
    Nếu mới đọc đề bài rồi cắm đầu làm luôn, có lẽ chúng ta sẽ cho rằng nếu hai đường thẳng (d_1); (d_2) chéo nhau thì luôn tồn tại đường thẳng d với mọi vị trí của điểm A. Điều này có đúng không? Chúng ta sẽ xét các ví dụ sau.

    Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng (d_1); (d_2) có phương trình như sau:
    (d_1): \dfrac{x-1}{2} =  \dfrac{y}{2} =  \dfrac{z}{1}; (d_2) :  \left \{\begin{array}{l} x = 3 + 3t \\ y = 1 - 2t \\  z =-3 + t \\  \end{array} \right.
    a. Chứng minh hai đường thẳng (d_1), (d_2) chéo nhau.
    b. Viết phương trình đường thẳng qua A(-1; 1; 0) và cắt hai đường thẳng (d_1), (d_2).
    Gợi ý giải câu b.
    Cách 1: Áp dụng cho học sinh học chương trình Nâng cao:
    Gọi \vec{u_1}, \vec{u_2} lần lượt là vectơ chỉ phương của (d_1), (d_2)
    + Viết PT mặt phẳng (P) chứa A và (d_1) M(1; 0; 0) \in (d_1) \Rightarrow \vec{MA}\vec{u_1} là cặp vectơ có giá song song hoặc năm trên (P), nên \vec{n_P} =\vec{AM} \wedge \vec{u_1} là vectơ pháp tuyến của (P).
    + Viết PT mặt phẳng (Q) chứa A và (d_2)N(3; 1; - 3) \in (d_2) \Rightarrow \vec{NA}\vec{u_2} là cặp vectơ có giá song song hoặc năm trên (Q), nên \vec{n_Q} =\vec{NA}\wedge \vec{u_2} là vectơ pháp tuyến của (Q).
    \Rightarrow Đường thẳng cần tìm là tập hợp tất cả các điểm thoả mãn hệ PT tạo bởi hai phương trình.
    Cách 2: Áp dụng cho học sinh học chương trình cơ bản.
    + Chuyển hai PT đường thẳng về dạng tham số (chú ý dụng hai tham số khác nhau).
    + Lấy hai điểm M, N lần lượt thuộc hai đường thẳng. Tìm điều kiện đế ba điểm M, N, A thẳng hang. Suy ra toạ độ của M,N
    + Viết PT đường thẳng qua M và N.

    Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục Oxyz. Cho hai đường thẳng (d_1), (d_2) có phương trình:
    (d_1) \left \{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\  z = t \\  \end{array} \right. (d_2) \left \{\begin{array}{l} x = 2t' \\ y = 1 - t' \\  z = 3 + t' \\  \end{array} \right.
    Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(2; -6; 1) đồng thời cắt hai đường thẳng đã cho.

    Lời giải.
    * Dễ dàng ta chứng minh được hai đường thẳng (d_1), (d_2) choé nhau.
    Cách 1. Cho học sinh học chương trình Nâng cao.
    + Mặt phẳng (P) qua A và chứa (d_1) có dạng: 2x + y - 3z + 6 = 0.
    + Mặt phẳng (Q) qua A và chứa (d_2) có dạng: 3x + 2y - 4z + 10 = 0.
    Do đó, đường thẳng cần tìm là tập hợp các điểm thoả mãn hệ phương trình:
    (d_1) \left \{\begin{array}{l} 3x + 2y - 4z + 10 = 0\\ 2x + y - 3z + 5 = 0 \\  \end{array} \right.
    (^.^) Nhưng đường thẳng vừa tìm được có cắt cả hai đường thẳng (d_1), (d_2) không? Với dạng PT này khó có thể mà nhận thấy ngày được.
    Chúng ta thử xét xem đường thẳng vừa tìm được có cắt (d_2) không?
    Giả sử giao điểm tồn tại là I. Khi đó I có toạ độ I = (2t; 1- t; 3 + t). Thay vào hệ PT trên ta có:
    (d_1) \left \{\begin{array}{l} 3.2t + 2(1-t) - 4(3 +t) + 10 = 0\\ 2.2t + 1-t - 3(3+t) + 5 = 0 \\  \end{array} \right. Hệ này không có nghiệm t. Do đó không tồn tại giao điểm I. Vậy nếu chúng ta kết luận như trên thì đã: “À quên!”
    Vậy lý do là ở đâu???DT_MP
    Trong bài ví dụ 2, nếu chúng ta lập PT mặt phẳng \alphachứa (d_1) thì mặt phẳng \alpha chứa luôn cả A. Do đó giao của (P) và (Q) mà ta tìm được ở trên sẽ là một đường thẳng qua A và song song với (d_2). Đây là trường hợp không tồn tại nghiệm hình khi (d_1), (d_2) chéo nhau..

    Để khắc phục sai sót này ta có thể kiểm tra xem mặt phẳng (P) có song song với (d_2) không? ( Xét xem vectơ pháp tuyến của (P) có vuông góc với vectơ chỉ phương của (d_2) không). Ở ví dụ trên \vec{n_P}=(2; 1; -3)\vec{u_2}=(2; -1; 1) vuông góc. Ta kết luận không tồn tại (d).

    Cách 2. Áp dụng cho học sinh học chương trình cơ bản.
    Giả sử tồn tại (d) thoả mãn. Khi đó giao điểm của (d) với (d_1), (d_2) là M=(1+t; 1+t; t), N=(2t'; 1 – t'; 3 +t’). Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng là \vec{AM} =k\vec{AN}.
    Lập hệ PT gồm 3 ẩn t, t’, k. Nếu hệ vô nghiệm thì không tồn tại (d). Nếu hệ có nghiệm thì xác định được M, N qua đó xác định được (d) là đường thẳng đi qua 2 điểm.

    About these ads

    3 phản hồi

    1. Chào bạn!
      Lãng là người rất yêu toán. Thật tuyệt! Blog của bạn có rất nhiều điều về Toán. Có lẽ bạn cũng là người yêu thích toán.
      Chúng ta làm quen nhá!

      • Cám ơn Trần Lãng đã thăm “gia đình” và để lại cảm nhận. Mình là giáo viên THPT dạy môn Toán, mình viết Blog để có thể nhận được sự chia sẻ của mọi người. Nồng nhiệt đón chào bạn

    2. cảm ơn blog của bạn

    Gửi phản hồi

    Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

    WordPress.com Logo

    Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

    Twitter picture

    Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

    Facebook photo

    Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

    Google+ photo

    Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

    Connecting to %s

    Theo dõi

    Get every new post delivered to your Inbox.

    %d bloggers like this: