Phương pháp quy nạp và các bài toán liên quan

Trong quá trình học Toán và thực hành giải toán liên quan đến các tổng vô hạn. Việc chứng minh một tổng thường ta dùng đến phương pháp quy nạp. Không thể phủ nhận vai trò của phương pháp.

Ví dụ. Chứng minh rằng S = 1 + 2 + 3 + .... + n = \frac{n(n + 1)}{2}

Nếu bài toán yêu cầu như sau:

Tìm tổng S = 1 + 2 + 3 + .... + n

Vậy vấn đề đặt ra cần giải quyết như thế nào.
Với tổng như ví dụ ở trên thì không mấy khó khăn. Song nếu yêu cầu tìm tổng S = 1^{2} + 2^{2}+3^{2} + .... + n^{2} thì vấn đề đã trở nên phức tạp.

Tổng trên ta đã biết S = 1^{2} + 2^{2}+3^{2} + .... + n^{2} = \frac{n(n-1)(2n+1)}{6}.
Bây giờ chúng ta xem như chưa biết tổng trên và tìm cách dự đoán kết quả.

S_n S_1 S_2 S_3 S_4 S_5 ……
n 1 2 3 4 5 ………
1+2+3+…+n 1 3 6 10 15 ………
1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2} 1 5 14 30 55 ………
………

Quy luật từ dòng thứ nhất xuống dòng thứ chưa thực sự rõ ràng lằm, nhưng còn dòng thứ 2 đến hòng thứ 3 thì đã rõ hơn. Ta xét tỉ số tương ứng theo cột

S_n S_1 S_2 S_3 S_4 S_5 ……
n 1 2 3 4 5 ………
\frac{1+2+3+...+n}{1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}} \frac{3}{3} \frac{5}{3} \frac{7}{3} \frac{9}{3} \frac{11}{3} ………

Ta thấy quy luật đã xuất hiện, ta dụ đoán như sau:

1^2 + 2^2 +3^2 + .... + n^2 = \frac{2n+1}{3}(1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}


* Đến đây ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp là giải quyết được bài toán.

Vậy có thể giải bằng cách khác bài toán này không?

Ta áp dụng hằng đẳng thức để thực hiện bài toán này:

1^3 = (1+0)^3 = 1 2^3 = (1+1)^3 = 1 + 3.1.1 + 3.1.1^2 + 1^3 3^3 = (1+2)^3 = 1 +3.1.2+ 3.1.2^2 + 2^3 4^3 = (1+3)^3 = 1 + 3.1.3 + 3.1.3^2 + 3^3 ….. ….. ….. n^3 = (1+n-1)^3 = 1 + 3.1.(n-1) + 3.1.(n-1)^2 + 3.1(n-1)^3 (n+1)^3 = (1+n)^3 = 1 + 3.1.n + 3.1.n^2 + 3.1.n^3

Ta cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:

(n+1)^3 = n+1 + 3(1+2+3+...+n) + 3(1^2 + 2^2 + 3^2 + ....+ n^2)

Từ đó suy ra được S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ....+ n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

About these ads

3 phản hồi

  1. may cong thuc nay minh hoc mai ma cha hieu gi ca
    ai co the giup to hieu duoc khong?

    • minh nghi tot nhat la ban nen ap dung nhieu cong thuc nay vao trong viec lam bai tap.
      minh cung da bi nhu ban roi. hoc ma cha hieu gi ca luon.
      nhung minh da lam bai tap nhieu va gio day minh da biet lam bai toan co cong thuc nay roi ne

  2. cha hieu gi nhung mong la no giup minh vuot qua ki thi casio nay

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: