Vectơ với các bài toán bất đẳng thức.

Vectơ có nhiều ứng dụng quan trọng và hay trong đại số. Trong bài này là một ưng dụngc của công cụ vectơ trong việc khai thác lời giải các bất đẳng thức trong tam giác.
Một số kiến thức cần nhắc lại.
Cho hai vecto \vec{a}=(a_1; a_2); \vec{b}=(b_1; b_2) ta có:

  • (\vec{a})^2= |\vec{a}|^2 \ge 0(1)
  • |\vec{a}|+ |\vec{b}| \ge |\vec{a}+\vec{b}|(2)
  • |\vec{a}.\vec{b}| \le |\vec{a}|.|\vec{b}|(3)
  • Bài toán 1. Cho tam giác ABC với các góc \hat{A}; \hat{B}; \hat{C}
    Chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C \ge -\dfrac{3}{2}.
    Giải:
    vecto Trên mặt phẳng ta dựng các vectơ \vec{OA}; \vec{OB}; \vec{OC} thoả mãn.
    |\vec{OA}|=|\vec{OB}| = |\vec{OC}|=1
    (\vec{OA},\vec{OB}) =2C
    (\vec{OB},\vec{OC}) =2A
    (\vec{OC},\vec{OA}) =2B
    Áp dụng tính chất (1) ta có:
    (\vec{OA}+\vec{OB}+ \vec{OC})^2 \ge 0 \Leftrightarrow \vec{OA}^2+\vec{OB}^2+ \vec{OC}^2 + 2\vec{OA}.\vec{OB} + 2\vec{OB}.\vec{OC} + 2\vec{OC}.\vec{OA} \ge 0 \Leftrightarrow 1 +1 + 1 + 2cos(2\hat{C}+ 2cos(2\hat{A}+ 2cos(2\hat{B}\ge 0
    \Leftrightarrow cos2A+ cos2B+ cos2C \ge -\dfrac{3}{2}

    Bài toán 2Chứng minh rằng với mọi số a, b, c, d ta đều có: |ab+cd| \le \sqrt{(a^2+c^2}+(b^2+d^2).

    Giải.
    Trước hết ta có thể thấy yêu cầu của bài toán là kết quả của việc áp dụng bất đẳng thức Côsi-Bunhiacôpxki cho 4 số. Với việc áp dụng vectơ ta có thể làm như sau:

      Đặt \vec{u}=(a;c); \vec{u}=(b;d) và áp dụng tính chất (3) ta sẽ được điều phải chứng minh.

    Một số bài tập áp dung.
    Bài 1. Cho tam giác ABC với các góc \hat{A};\hat{B};\hat{C}. Chứng minh rằng:
    6cosA.cosB.cosC \le cos^2A + cos^2B + cos^2C
    Bài 2. Chứng minh rằng với mọi x ta có:
    \sqrt{2sin^2x+4}+\sqrt{2sin^2x-2\sqrt{2}sinx+5} \ge \sqrt{17}.

    Một phản hồi

    1. Theo em thầy lấy luôn đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cho tiện (Bài toán 1)

    Gửi phản hồi

    Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

    WordPress.com Logo

    Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

    Twitter picture

    Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

    Facebook photo

    Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

    Google+ photo

    Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

    Connecting to %s

    %d bloggers like this: